1.GAN

在训练过程中，生成器和判别器的目标是相矛盾的，并且这种矛盾可以体现在判别器的判断准确性上。生成器的目标是生成尽量真实的数据，最好能够以假乱真、让判别器判断不出来，因此生成器的学习目标是让判别器上的判断准确性越来越低；相反，判别器的目标是尽量判别出真伪，因此判别器的学习目标是让自己的判别准确性越来越高。

当生成器生成的数据越来越真时，判别器为维持住自己的准确性，就必须向辨别能力越来越强的方向迭代。当判别器越来越强大时，生成器为了降低判别器的判断准确性，就必须生成越来越真的数据。在这个奇妙的关系中，判别器判断的准确性由GAN论文中定义的特殊交叉熵$V$来衡量，判别器与生成器共同影响交叉熵$V$，同时训练、相互内卷，对该交叉熵的控制时此消彼长的，这是真正的零和博弈。

2. 特殊交叉熵$V$

在生成器与判别器的内卷关系中，GAN的特殊交叉熵公式如下：

V
(
D
,
G
)
=
1
m
∑
i
=
1
m
[
log
⁡
D
(
x
i
)
+
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
i
)
)
)
]
V(D,G)=\frac1m\sum_{i=1}^{m}[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]
V(D,G)=m1​i=1∑m​[logD(xi​)+log(1−D(G(zi​)))]
其中，字母$V$是原始GAN论文中指定用来表示该交叉熵的字母，对数$\log$的底数为自然底数$e$，$m$表示共有$m$个样本，因此以上表达式是全部样本交叉的均值表达式。
除此之外，
x
i
x_i
xi​表示任意真实数据，
z
i
z_i
zi​与真实数据相同结构的任意随机数据，
G
(
z
i
)
G(z_i)
G(zi​)表示在生成器中基于
z
i
z_i
zi​生成的假数据，而
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)表示判别器在真实数据
x
i
x_i
xi​上判断出的结果，
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))表示判别器在假数据
G
(
z
i
)
G(z_i)
G(zi​)上判断出的结果，其中
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)与
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))都是样本为“真”的概率，即标签为$1$的概率。

在原始论文中，这一交叉熵被认为是一种“损失”，但它有两个特殊之处：

• 不同于二分类交叉熵等常见的损失函数，损失$V$上不存在最小值，反而存在最大值。具体来看，
  D
  (
  x
  i
  )
  D(x_i)
  D(xi​)与
  D
  (
  G
  (
  z
  i
  )
  )
  D(G(z_i))
  D(G(zi​))都是概率，因此这两个值的范围都在$(0,1)$之间。对于底数为$e$的对数函数来说，在定义域为$(0,1)$之间意味着函数的值为$(-\infty ,0)$。因此理论上来说，损失$V$的值域也在$(-\infty ,0)$。
• 损失$V$在判别器的判别能力最强时达到最大值，这就是说判别器判断得越准确时，损失反而越大，这违背我们对普通二分类网络中的损失函数的期待。但我们从判别器和生成器角度分别来看待公式$V$，则可以很快理解这一点。

不难发现，在$V$的表达式中，两部分对数都与判别器$D$有关，而只有后半部分的对数与生成器$G$有关。因此我们可以按如下方式分割损失函数：
对判别器：

L
o
s
s
D
=
1
m
∑
i
=
1
m
[
log
⁡
D
(
x
i
)
+
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
i
)
)
)
]
Loss_D=\frac1m\sum_{i=1}^m[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]
LossD​=m1​i=1∑m​[logD(xi​)+log(1−D(G(zi​)))]
从判别器的角度来看，由于判别器希望自己尽量能够判断正确，而输出概率又是“数据为真”的概率，所以最佳情况就是所有的真实样本上的输出
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)都无比接近$1$，而所有的假样本上的输出
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))都无比接近$0$。因此对判别器来说，最佳损失值是：

L
o
s
s
D
=
1
m
∑
i
=
1
m
[
log
⁡
D
(
x
i
)
+
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
i
)
)
)
]
=
1
m
∑
i
=
1
m
[
log
⁡
1
+
log
⁡
(
1
−
)
]
=
Loss_D=\frac1m\sum_{i=1}^m[\log D(x_i) +\log(1-D(G(z_i)))]= \frac1m\sum_{i=1}^m[\log 1+\log (1-0)]= 0
LossD​=m1​i=1∑m​[logD(xi​)+log(1−D(G(zi​)))]=m1​i=1∑m​[log1+log(1−0)]=0
这说明判别器希望以上损失
L
o
s
s
D
Loss_D
LossD​越大越好，且最大值理论上可达$0$，且判别器追求大
L
o
s
s
D
Loss_D
LossD​的本质是令$D(x)$接近$1$，令$D(G(z))$接近$0$。不难发现，对判别器而言，$V$更像是一个存在上限的积极的指标（比如准确率）。

而从生成器的角度来看，生成器无法影响
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)，只能影响
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))，因此只有损失的后半段与生成器相关。因此对生成器：

L
o
s
s
G
=
1
m
∑
i
=
1
m
[
常数
+
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
i
)
)
)
]
Loss_G=\frac1m\sum_{i=1}^m[常数+\log(1-D(G(z_i)))]
LossG​=m1​i=1∑m​[常数+log(1−D(G(zi​)))]
生成器的目标是令输出的数据越真越好，最好让判别器完全判断不出，因此生成器希望
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))越接近$1$越好。因此对生成器来说，最佳损失是（去掉常数项）：

L
o
s
s
G
=
1
m
∑
i
=
1
m
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
i
)
)
)
=
log
⁡
(
1
−
1
)
=
−
∞
Loss_G=\frac1m\sum_{i=1}^m\log(1-D(G(z_i)))= \log(1-1)= -\infty
LossG​=m1​i=1∑m​log(1−D(G(zi​)))=log(1−1)=−∞
这说明生成器希望以上损失
L
o
s
s
G
Loss_G
LossG​越小越好，且最小理论值可达负无穷，且生成器追求小
L
o
s
s
G
Loss_G
LossG​的本质是令$D(G(z))$接近$1$。对生成器而言，$V$更像是一个损失，即算法表现越好，该指标的值越低。从整个生成对抗网络的角度来看，我们（使用者）的目标与生成器的目标相一致，因此对我们而言，$V$被定义为损失，它应该越低越好。

在原始论文当中，该损失$V$被表示为如下形式：

min
⁡
G
max
⁡
D
V
(
D
,
G
)
=
E
x
∼
P
d
a
t
a
(
x
)
[
log
⁡
D
(
x
)
]
+
E
z
∼
P
z
(
z
)
[
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
)
)
)
]
\min \limits_G \max \limits_D V(D, G)=\mathbb{E}_{x \sim{P_{data}} (x)} [\log D(x)] + \mathbb{E}_{z \sim{P _{z}}(z)}[\log (1 - D(G(z)))]
Gmin​Dmax​V(D,G)=Ex∼Pdata​(x)​[logD(x)]+Ez∼Pz​(z)​[log(1−D(G(z)))]
即先从判别器的角度令损失最大化，又从生成器的角度令损失最小化，即可让判别器和生成器在共享损失的情况下实现对抗。其中$\mathbb{E}$表示期望，第一个期望
E
x
∼
P
d
a
t
a
(
x
)
[
log
⁡
D
(
x
)
]
\mathbb{E}_{x \sim{P_{data}} (x)} [\log D(x)]
Ex∼Pdata​(x)​[logD(x)]是所有$x$都是真实数据时$\log D(x)$的期望；第二个期望
E
z
∼
P
z
(
z
)
[
log
⁡
(
1
−
D
(
G
(
z
)
)
)
]
\mathbb{E}_{z \sim{P _{z}}(z)}[\log (1 - D(G(z)))]
Ez∼Pz​(z)​[log(1−D(G(z)))]是所有数据都是生成数据时$\log (1-D(G(z)))$的期望。当真实数据、生成数据的样本点固定时，期望就等于均值。
如此，通过共享以上损失函数，生成器与判别器实现了在训练过程中互相对抗，
min
⁡
G
max
⁡
D
V
(
D
,
G
)
\min \limits_G \max \limits_D V(D, G)
Gmin​Dmax​V(D,G)的本质就是最小化
L
o
s
s
G
Loss_G
LossG​的同时最大化
L
o
s
s
D
Loss_D
LossD​。并且，在最开始训练时，由于生成器生成的数据与真实数据差异很大，因此
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)应该接近$1$，
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))应该接近$0$。理论上来说，只要训练顺利，最终
D
(
x
i
)
D(x_i)
D(xi​)和
D
(
G
(
z
i
)
)
D(G(z_i))
D(G(zi​))都应该非常接近$0.5$，但实际上这样的情况并不常见。

B站up:菜菜